Hawkes-prosessi saadakseen ihmiset tietoiseksi COVID-19-taudinpurkauksen vakavuudesta: soveltaminen tapauksiin Ranskassa

Laurent Lesage

Ehdotamme yksinkertaista mallia, joka perustuu Hawkesin prosesseihin ymmärtää COVID-19-tartunnan ja saada ihmiset tietoisiksi tilanteen vakavuudesta. Emme ole epidemiologit, emmekä teeskentele, että pystymme ennustamaan tarkasti tulevien tapausten määrän. Tavoitteenamme on nähdä, että yksinkertainen malli, joka ei ota huomioon monia ulkoisia tekijöitä, antaa meille mahdollisuuden tarttua esiin puhkeamisen globaaliin suuntaukseen, ja korostaa sitä tosiasiaa, että ilman ihmisten käyttäytymisen muutosta puhkeaminen voisi olla hallitsematon. Mallin omaperäisyydessä on keskittyä etenemisnopeuteen eikä itse tapausten määrään. Jos haluat lisätietoja, voit tutustua tätä aihetta koskevaan tutkielmaamme.

Osa 1: Menetelmä

Käytämme Hawkes-prosessia mallintaa puhkeamisen kehitystä Ranskassa ja saadaksemme ranskalaiset tietoisiksi tilanteen vakavuudesta. Eri tutkijat ovat viime päivien aikana ehdottaneet monia tätä aihetta käsitteleviä malleja ja datavisuaalioita. Erityisesti tässä tutkimuksessa esitetään joitain samankaltaisuuksia mallisi kanssa käyttämällä Poissonin automaattista progressiivista mallia sopeutumaan puhkeamisen kehitykseen Kiinassa, Iranissa, Italiassa ja Etelä-Koreassa.

Hawkes-prosessi (HP) on nimetty Alan G. Hawkesin mukaan, joka esitteli itsenäisesti kiinnostavien pisteprosessien käsitteen. HP on pisteprosessi, joka mallintaa infektioiden esiintymistä. Merkitsemme N (t) HP: ta, joka edustaa tapausten lukumäärää ajankohtana t. Merkitsemme myös H (t) -prosessin historiallista tietoa ajankohtaan t saakka, toisin sanoen menneitä tartuntoja.

Sen sijaan, että mallinnettaisiin suoraan N (t), työskentelemme λ * (.): Lla, joka edustaa puhkeamisen etenemisnopeutta. Matemaattisesti ottaen λ * (.) On ehdollisen intensiteetin funktio, jonka määrittelevät:

Tämän määritelmän avulla voimme kirjoittaa:

mikä on melko helppo ymmärtää, jopa olematta matematiikan ja todennäköisyyden asiantuntija. Tämä yhtälö osoittaa, että todennäköisyys havaita uusi tapaus välillä t ja t + dt on verrannollinen λ * (t): een. Toisin sanoen, mitä suurempi λ * (t) on, sitä nopeammin N (t) kasvaa.

Tämä yhtälö on totta kaikentyyppisille pisteprosesseille. HP: lla ehdollisella intensiteettitoiminnolla on tietty muoto:

joka on myös melko helppo lukea:

  • ensimmäinen termi, λ> 0, on taustavoimakkuus, joka mallintaa ulkomailta tulevaa tartuntaa,
  • toinen termi, summa k: na, on prosessin itsensä kiinnostava osa. Jokaiselle t_k: lle, joka edustaa aikoja, jolloin tartunta tapahtui menneisyydessä, lisäämme uuden osan μ (t-t_k), joka lisää λ * (t). Se tarkoittaa, että jokainen esiintymä "kiihottaa" prosessia lisäämällä puhkeamisen etenemisnopeutta ja todennäköisyyttä, että uusi tartunta tapahtuu lyhyessä ajassa. Näin tapahtuu puhkeamisen aikana: jokainen uusi tapaus voi levittää viruksen muille ihmisille ja aiheuttaa sitten uusia tartuntoja. μ (.) on vähentyvä funktio: oletamme siis, että jokainen potilas on ajan myötä vähemmän tarttuvaa (mikä ei aina pidä paikkaansa joidenkin tutkijoiden mukaan).

Osa 2: Tulokset

Olemme soveltaneet mallia tietoihin Johns Hopkinsin yliopiston Systems Science and Engineering -keskuksen (CSSE) GitHub-arkistosta, josta löysimme vahvistettujen tapausten aikasarjat Ranskassa 22. tammikuuta - 16. maaliskuuta.

Tietojen asentaminen 8. maaliskuuta saakka ja tietojen jälkitestaus 8. maaliskuuta - 16. maaliskuuta

Opimme malliamme 8. maaliskuuta saakka havaittuihin tietoihin, toisin sanoen arvioimme λ: n arvon ja μ: n muodon (.). Tarkistaaksemme, onko mallimme oikein, simuloimme puhkeamisen kehitystä 8. – 16. Maaliskuuta mallimme mukaan ja vertaamme sitten sitä, mikä antaa HP: lle todellisia tietoja.

Kuvio 1 esittää simulaation ja todellisen datan vertailun:

Kuvio 1 osoittaa, että malli tarttuu taudinpurkauksen kehityksen globaaliin suuntaukseen ja vahvistaa lähestymistapanamme, vaikka se ei olisikaan täysin tarkka. Tapausten lukumääräksi arvioidaan 16. maaliskuuta 5 208,96, kun taas tartunnan saaneiden henkilöiden todellinen määrä on 6 130. Siitä huolimatta mallimme ja todellisen tiedon välinen dynamiikka on sama, saastuneiden määrän kasvun ollessa eksponentiaalinen.

Kuvassa 2 voimme tarkkailla arvioidun intensiteetin ja tapausmäärän kehityksen käyrät 26. helmikuuta - 16. maaliskuuta:

Näemme, että intensiteetin huiput vastaavat hetkiä, jolloin etenemisnopeus on suurempi. Päinvastoin, se hidastuu, kun voimakkuus on alhainen.

Huomautus: Maaliskuun 16. päivänä yhteensä 6 130 tapausta saattaa vaikuttaa suhteellisen vähän verrattuna Ranskan 67 miljoonaan ihmiseen. Keskitytään kuitenkin 1 / λ * (.) Λ * (.): N sijasta. 1 / λ * (.) Edustaa kahden infektion välistä aikaa, ja se on esitetty kuvassa 3:

Näemme, että 16. maaliskuuta (viimeinen havainto) saapumisten välinen aika on erittäin pieni: yksi uusi tapaus ilmestyy 52 sekunnin välein! Se on hetkellinen nopeus, tosiasiallisen keskimääräisen lukumäärän tulisi olla enemmän noin 2 tai 3 minuuttia. Mutta silti, se on dramaattinen, koska muistutamme, että Ranskassa on saatavana vain 5000 tehohoidon sänkyä. Terveydenhuoltojärjestelmä häviää täysin ilman välittömiä toimia.

Simulointi 26. maaliskuuta asti

Se on mielenkiintoisin (ja pelottava) osa. Sen avulla voimme arvioida infektioiden lukumäärän kymmenessä päivässä (torstaina 26. maaliskuuta). Keskitymme kahteen skenaarioon: joko puhkeamisen dynamiikka pysyy samana tai ranskalaiset muuttavat sosiaalisia tapojaan Ranskan hallituksen toteuttamien toimenpiteiden mukaisesti.

Skenaario 1: dynamiikka pysyy samana

Ensimmäisessä skenaariossa arvioimme infektioiden määrän, jos puhkeamisen dynamiikka pysyy samana kymmenessä päivässä (torstaina 26. maaliskuuta), toisin sanoen jos ranskalaiset eivät muuta sosiaalista vuorovaikutustaan ​​viimeisten viikkojen aikana maaliskuuta.

Skenaario 2: Ranskan väestö noudattaa karanteenitoimenpiteitä

Toisessa skenaariossa oletetaan, että Ranskan väestö noudattaa Ranskan hallituksen 17. maaliskuuta toteuttamia toimenpiteitä (karanteeni). Näiden päätösten huomioon ottamiseksi mukautamme HP-mallimme epälineaariseen muotoon:

missä t_m on aika, jolloin toimenpiteet toteutetaan (eli 16. maaliskuuta). Tämä malli antaa ehdollisen intensiteettitoiminnon laskea t_m: sta estävän osan ansiosta [1, (t / t_m) ^ a]. a on parametri, joka on oppinut puhkeamisen kehityksestä Kiinassa, jossa karanteenit olivat tehokkaita ja hidastivat puhkeamista.

Tarkastelemme kuvassa 4 kahden skenaarion vertailua:

Se osoittaa, että toimenpiteiden toteuttaminen karanteenitoimenpiteinä noudattaen vähentäisi huomattavasti arvioitujen tapausten määrää. Ensimmäisessä skenaariossa arvioidaan tapauksia 51 642 tapausta ja toisessa skenaariossa 14 621 tapausta, noin kolme kertaa vähemmän! Lisäksi näemme, että puhkeamisen kehitys ilman sosiaalisten vuorovaikutusten muuttamista vahvistaa monien muiden mallien arvioiman kehityksen: tapausten lukumäärä kaksinkertaistuu kolmen päivän välein.

Tärkeä huomautus: Tiedot, joihin olemme työskennelleet, ovat vain virallisten tapausten lukumäärä. Voimme kohtuudella ajatella, että tosiasiallinen tapausten lukumäärä on paljon suurempi, koska sairaaloilla ei ole tarpeeksi lääkäreitä ja materiaalia kaikkien ihmisten testaamiseksi. COVID-19-oireiden esiintyminen ei riitä testaamiseen. Worldometersin mukaan Ranskan väestölle tehtiin 9. maaliskuuta 11 895 testiä 1 209 virallisessa tapauksessa, toisin sanoen 10,1% positiivisten testien määrä. Oletetaan, että tämä nopeus on sama simuloinnillemme. Se tarkoittaa, että 51 642 / 10,1% = 511 306 testi olisi suoritettu, toisin sanoen vain 0,7% väestöstä! Näin ollen todellinen tapausten lukumäärä olisi paljon suurempi kuin arvioitu lukumme. Sitä on vaikea määrittää, mutta voimme kuvitella, että lääkärit voisivat keskittyä vain yhteen tapaukseen kolmesta, yhdestä viidestä tai jopa yhdestä kymmenestä.

Lisätietoja

Voit tarkastella tätä aihetta koskevaa artikkeliamme, joka yksityiskohtaisesti kuvaa menetelmän päävaiheet (sovittaminen, jälkitestaus jne.) Ja keskittyy mallin matemaattisiin näkökohtiin.

johtopäätös

Yhteenvetona voidaan todeta, että mallimme HP: n kanssa osoittaa, että COVID-19 näyttää olevan itsestään kiinnostava dynamiikka. Simulaatiot vahvistavat, että puhkeamisen kehitys on eksponentiaalista, jos ihmiset eivät muuta tapojaan, ja että sitä voidaan vähentää merkittävästi toteuttamalla samanlaisia ​​toimenpiteitä kuin Kiinassa. Kaikkien tulee tietää tilanteen vakavuus ja toteuttaa hallituksen toimenpiteet puhkeamisen vähentämiseksi.